El lenguaje algebraico:ecuaciones y sistemas de ecuaciones

ECUACIONES EJEERCICIOS

Matemátícas en la sangre

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Ecuaciones de primer grado

Ecuacion de primer grado

Ecuación de primer grado Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x.

Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad.
Recuerda:
Si un elemento está sumando en un miembro pasa al otro restando. Si está restando pasa sumado.
Si un número multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro dividiendo y si los divise pasa multipllicando.

Resuelve la ecuación

¡¡Resuelve esta ecuación !!

Solución:

POTENCIAS

ECUACIONES

Ecuaciones de Segundo Grado por Fórmula General

EJERCIOS DE SEGUNDO GRADO

Ecuaciones de segundo grado completas.

Simplificación de potencias (1) por Nekagra.

ECUACIONES

Resolución de Ecuaciones 

       Al resolver ecuaciones comúnmente acortamos el uso de la propiedad de la igualdad.Observe en los siguientes ejemplos que al mover de un lado al otro signo de igualdad, el signo cambia. ( En verdad, lo que pasa es que estamos sumando el opuesto a ambos lados de la ecuación.)
 
 

Ejemplos:

 A.
     1. ¿ Es 6 una solución para la ecuación      3x - 1 = 2x +5?
           3x -1   = 2x + 5
          3(6)-1  = 2(6) + 5    <Se sustituyó el x por el 6>
          18 - 1  = 12 + 5       <Se resuelve en ambos lados>
                17 = 17
 
 
 

     2. ¿Es 3 la solución de la ecuación             3x + 1 = 2x + 3 ?
          3x + 1    = 2x + 3
          3(3) + 1 = 2(3) + 3
          9 + 1     = 6 + 3
                  10 = 9                              < 3 no es la solución >

B.
          1.           x - 3  = 9
                       x + -3 = 9
                  x + -3 +3 = 9 + 3              <añadir 3 elimina la resta y
                        x + 0 = 12                     mueve todo exepto la variable x
                              x = 12                            del lado izquierdo>
Recuerda que restar un número es igual que sumar su opuesto:
            6 - 7 = 6 + -7
            x - 3 = x + -3

        2.                x - 6 = 2
                         x + -6 = 2
                  x  + -6 + 6 = 2 + 6
                          x + 0 = 8
                                x = 8

3.             4x = 16
               4x = 16             <Utilizar la regla de la mult. para dividir
                  4      4                 ambos por 4>
                  x = 4
4. x   = 5
    2
 (2) x = 5(2)            <Multiplica ambos lados por dos>
    2
(2) x = 5(2)             <al multiplicar el lado de la x se elimina el 2
   2                           con el 2 y queda la x sola>
      x = 10

5.                    2x+6 = 20
                  2x + 6    = 20
                         2x   = 20 - 6         < Se pasa el 6 negativo para dejar
                           2x = 14                  el 2x solo.>
                          2x = 14
                           2      2
                             x = 7

6.              4x - 9 = 2x + 3
              4x + - 9 = 2x + 3           <se agrupan terminos semejantes>
                4x - 2x = 3 + 9             <Se suma>
                     2x = 12                 <Se divide entre 2 para despejar x>
                      2      2
                        x = 6
 

   7.     3x + 9 = 2x - 3
           3x + 9 = 2x + -3
          3x - 2x = -9 + -3             <Al sumar queda la x sola por lo
                                            tanto x = -12
                   x = -12
 

Enlaces de ayuda

Ejercicios de Práctica:

1.  2x + 5 = 1                                                    2.  3x = 21
 

3. 3x + 5 = 4x - 7                                               4.  3(x - 5) =  2(x + 2)
 

5. x  = 27                                                           6.   3 x = 6
    9                                                                         5
 

7.  x + 3  =  x - 1                                            8.      x + 9 = 2
       2           3                                                           5
 
 

Solución:

1.     2x + 5   = 1
               2x  = 1 + - 5
                2x = -4
              2       2
                  x = -2

2.   3x = 21
     3x = 21
      3      3
        x = 7

3.  3x + 5 = 4x - 7
     3x + 5 = 4x + -7
     3x - 4x = -7 + - 5
             -x = -7 + -5
             -x = -12
              x = 12

4 .     3(x - 5)  =  2(x + 2)
         3x - 15  = 2x + 4
         3x + -15= 2x + 4
          3x - 2x  = 4 + 15
                    x = 19

5.   x   = 27
      9
   (9)x  = 27 (9)
       9
    (9)x = 27 (9)
       9
     x    = 243

6.   3x = 6
       5
  (5)3x = 6 (5)
       5
     3x = 30
      3      3
        x = 10
 

7.     x + 3  =  x - 1
           2            3
   (6) x + 3  = (6) x - 1      ( 6 divide a ambos denominadores)
         2                 3
    3 ( x + 3) = 2 (x - 1)
    3x + 9     = 2x - 2
    3x + 9     = 2x + -2
    3x - 2x    = -2 + -9
          x       = -2 + -9
                x = - 11
 

8.     x + 9  = 2
           5
    (5)x + 9  = 2(5)
      5
         x + 9  = 10
             x    = 10 - 9
                x = 1

Ecuaciones de primer grado

POTENCIAS

Potencias

Una potencia es un producto de factores iguales. Está formada por la base y el exponente.

	Exponente	Se puede leer: tres elevado a cuatro o bien tres elevado a la cuarta
3 . 3 . 3 . 3 = 34
	Base

El factor que se repite se llama base. El número de veces que se repite el factor, o sea la base, se llama exponente. Esto significa que si se tiene la potencia  2⁶ (dos elevado a seis o a la sexta), la base será 2 y el exponente 6, lo cual dará como resultado 64 porque el 2 se multiplica por si mismo 6 veces (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64).
Ejemplos: 
2 ⁵   =  2 • 2 • 2 • 2 • 2 =  32    El exponente es 5, esto  significa que la base, el 2, se debe multiplicar por sí misma cinco veces.
3 ² = 3 • 3 =  9                      El exponente es 2, esto significa que la base (3) se debe multiplicar por sí misma dos veces.
5 ⁴ =  5 • 5 • 5 • 5  =  625       El exponente es 4, esto significa que la base (5) se debe multiplicar por sí misma cuatro veces.
Una potencia puede representarse en forma general como:

an  =  a • a • a • ........

Donde:     a = base     n = exponente                          “ n” factores iguales
Finalmente, recuerda que una de las aplicaciones de las potencias es la descomposición factorial de un número.

Potencia de base entera y exponente natural

Si la base a pertenece al conjunto de los Números Enteros ( a Z ) (léase a pertenece a zeta) significa que puede tomar valores positivos y negativos. Si el exponente pertenece al conjunto de los Números Naturales, significa que puede tomar valores del uno en adelante (1, 2, 3, .....).

Potencia de base entera positiva:

Si la base a es positiva, la potencia siempre será un entero positivo, independiente de los valores que tome el exponente, es decir, de que sea par o impar.

(+a) n   =  +a n

Ejemplos:   

               (⁺4) ³   =   4³   =  4 • 4 • 4  =  64  =  ⁺ 64                    Exponente impar
              (⁺3) ⁴  =   3⁴  =  3 • 3 • 3 • 3  =  81  =  ⁺81                   Exponente par

Potencia de base entera negativa:

Si la base a es negativa el signo de la potencia dependerá de si el exponente es par o impar.
a) Si el exponente es  par, la potencia es positiva.

(_ a) n  (par)   =   +a n

Ejemplos:
                  (^_5) ²  =  ^_5 • ^_5  =  ⁺25  =  25                                    ^_ · ^_  =  +
              (^_2) ⁸  =  ^_2 • ^_2 • ^_2 • ^_2 • ^_2 • ^_2 • ^_2 • ^_2  =  ⁺256  =  256
b) Si el exponente es impar, la potencia es negativa.

(_a) n (impar)  =  _a n

Ejemplos:

              (^_2) ³  =  ^_2 • ^_2 • ^_2  =  ^_8

              (^_3) ³  =  ^_3 • ^_3 • ^_3  =  ^_27

En resumen:

Base	Exponente	Potencia
Positiva	Par	Positiva
Positiva	Impar	Positiva
Negativa	Par	Positiva
Negativa	Impar	Negativa

Multiplicación de potencias de igual base

Para multiplicar potencias de igual base, se suman los exponentes y se mantiene la base.
Ejemplos:
1)
2)
3)
Ver: PSU: Matemática; Pregunta 01_2005

División de potencias de igual base

Para dividir potencias de igual base, se restan los exponentes y se conserva la base.
Ejemplos:
1)
2)
3)

Multiplicación de potencias de igual exponente

Se multiplican las bases y se conserva el exponente.
Ejemplo:

División de potencias de igual exponente

Se dividen las bases y se conserva el exponente
Ejemplo:

Potencia elevada a potencia

Se eleva la base al producto (multiplicación) de los exponentes; o sea, se conserva la base y se multiplican los exponentes.
Ejemplos:
1)
2)

Potencia de base racional y exponente entero

Sea la base  (fracción) perteneciente al conjunto de los Números Racionales ( Q ),
donde a es el numerador y b el denominador distinto de cero, y el exponente pertenece a los números enteros (n Z).  Para elevar una fracción a potencia se elevan por separado numerador y denominador.
Ejemplos:
1)     
2)     
3)     

Potencia de exponente negativo

Si es un número racional y – n un número entero, entonces se tiene,

Si el exponente es negativo el numerador se invierte con el denominador, y el exponente cambia de signo.

Ejemplos:
1)     
2)     
3)