MATEMATICAS 3 ESO: MÍNIMO COMÚN MULTIPLO

Cálculo del mínimo común múltiplo (m.c.m)

Partiendo de 2 o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar todos los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será:

\begin{array}{r|l} 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & 1 \end{array}

72 = 2^3 \cdot 3^2 \,

\begin{array}{r|l} 50 & 2 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}

50 = 2 \cdot 5^2 \,

Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que:

\operatorname{mcm} (72, 50) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 1800

Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximo común divisor.

\operatorname{mcm}(a, b) = \frac {a \cdot b}{\operatorname{mcd}(a, b)}

Propiedades básicas

Si a es un entero, entonces [a, a] = a
Cuando a y b son enteros, [a, b] = b si, sólo si b es múltiplo de a.
(a,b) = [a,b] si son iguales u opuestos.
[a, b] = [ab] si, sólo si (a,b)= 1
[a/d, b/d] = [m/a, m/b] donde m = mcm y d = mcd.²
[ma,b]= m[a,b] si ([a,b]/a,m) = 1³
[a,b,c]= [[a,b], [b,c]]
[a, b, c]|abc, donde abc ≠ 0
[a,b,c] = abc (a,b,c)/(a,b)(b,c)(c,d)⁴

Si el producto de dos números lo dividimos por su máximo común divisor dicho cociente es el mínimo común múltiplo.

A y B que descompuestos en números primos será A=(p₁·p₂)·p₃·p₄ y B=(p₁·p₂)·p₅·p₆ donde si m.c.d. es (p₁·p₂) y el producto de A·B=(p₁·p₂)·p₃·p₄·(p₁·p₂)·p₅·p₆ donde vemos que (p₁·p₂) está repetido dos veces, luego si dividimos ese total por (p₁·p₂) tendremos el total menor que contiene a A y B siendo su mcm

El mínimo común múltiplo de dos números, donde el menor divide al mayor, será el mayor. Es lógico ya que un múltiplo de ambos inferior al mayor sería imposible ya que no sería múltiplo del mayor.
El mínimo común múltiplo de dos números primos es el total de su multiplicación. Esto es lógico ya que su máximo común divisor es 1.
El mínimo común múltiplo de dos números compuestos será igual al cociente entre su producto y el m.c.d de ellos. Es evidente según la propiedad 1 de este tema.
El máximo común divisor de varios números es un divisor del mínimo común múltiplo de tales números.⁵
Sea mZ el conjunto de los múltiplos del entero m, nZ el del entero n. Entonces el conjunto nZ∩mZ está formado por los múltiplos comunes de m y n; en otra notación es el conjunto [m,n]Z.⁶

Aplicaciones del mínimo común múltiplo

Suma de fracciones

Véase también: Mínimo común denominador

Véase también: Fracción

El mcm se puede emplear para sumar o restar fracciones de distinto denominador, tomando el mcm de los denominadores de las fracciones, y convirtiéndolas en fracciones equivalentes que puedan ser sumadas. Véase el siguiente ejemplo:

\frac {1}{6} + \frac {4}{33}

Para poder efectuar la suma, primero se debe buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores (6 y 33)

\begin{array}{r|l} 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array}

6 = 2 \cdot 3 \,

\begin{array}{r|l} 33 & 3 \\ 11 & 11 \\ 1 & \end{array}

33 = 3 \cdot 11 \,

luego el mínimo común múltiplo de 6 y 33 es:

\operatorname{mcm} (6,33)= 2 \cdot 3 \cdot 11 = 66

que corresponde al número 66; ambas fracciones tendrán como denominador 66, ahora sólo hay que hallar a cada fracción su fracción equivalente, con denominador 66 y será posible la suma:

\cfrac {1}{6} + \frac {4}{33} \quad = \quad \cfrac {1}{6} \cdot \cfrac {\cfrac{66}{6}}{\cfrac{66}{6}} \; + \; \cfrac {4}{33} \cdot \cfrac {\cfrac{66}{33}}{\cfrac{66}{33}} \quad = \quad \cfrac {1 \cdot \cfrac{66}{6}}{6 \cdot \cfrac{66}{6}} \; + \; \cfrac {4 \cdot \cfrac{66}{33}}{33 \cdot \cfrac{66}{33}} \quad = \quad \cfrac {1 \cdot \cfrac{66}{6}}{\cancel{6} \cdot \cfrac{66}{\cancel{6}}} \; + \; \cfrac {4 \cdot \cfrac{66}{33}}{\cancel{33} \cdot \cfrac{66}{\cancel{33}}} \quad =

operando las fracciones, podemos realizar la suma:

\cfrac {1 \cdot 11}{66} + \frac {4 \cdot 2}{66} \quad = \quad \cfrac {11}{66} + \frac {8}{66} \quad = \quad \cfrac {19}{66}

Expresiones algebraicas

El m.c.m. para dos expresiones algebraicas, corresponde a la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas. Esta teoría es de suma importancia para las fracciones y ecuaciones.⁷

De esta forma el m.c.m. de monomios

\ 4a

\ 6a^2

\ 12a^2

igualmente para

\ 2x^2 , \ 6x^3

\ 9x^4

\ 18x^4

Algoritmo de cálculo

Para más de dos números, un algoritmo es el siguiente:

Descomponer cada uno de los números en un producto de potencias de factores primos.Por ejemplo, la descomposición factorial de 324 es 2²·3⁴.
De entre todos las potencias de factores primos, se eligen todos los existentes, y dentro de los comunes a todos los números, los de mayor potencia. (Es muy conveniente disponer las factorizaciones de manera tabular o matricial para evitar despistes al realizar el ejercicio).
Multiplicar todos los factores elegidos.

Por ejemplo, calculando el mcm(324,16,7,5) La descomposición de 324 es 2²·3⁴; la descomposición de 16 es: 2⁴; la descomposición de 7 es 7 y la descomposición de 5 es 5.

\begin{bmatrix} 324 = & 2^{2} & 3^{4} & & \\ 16 = & 2^{4} & & \\ 5 = & & & 5 & \\ 7 = & & & & 7 \end{bmatrix}

Por tanto, obtenemos el mcm: 2⁴·3⁴·7·5 = 45360.

Generalización del concepto de m.c.m. y m.c.d

El concepto de m.c.m. y de m.c.d. se puede extender a las fracciones o números racionales positivos.⁸ Estrictamente hablando cualquier número racional divide a otro racional y no existe un racional mayor o menor que todos. No obstante, la extensión aquí descrita tiene interés en algunos problemas y está relacionada con la teoría de anillos, ideales,identidad de Bézout, teorema de Krull, etc.

En el caso de la aritmética clásica elemental sería de aplicación en el siguiente ejemplo. Sean 3 corredores dando vueltas a un circuito, si en cada vuelta el primero saca 1/3 de vuelta al segundo y 2/7 al tercero. ¿cuándo volverán a coincidir en la meta los tres corredores?. También sería de aplicación en problemas de ruedas dentadas, etc.

Sean dos fracciones

\frac{a}{b}

\frac{c}{d}

irreducibles

a = \prod_{i} p_i^{e_{i}(a)}, b = \prod_{i} p_i^{e_{i}(b)}, c = \prod_{i} p_i^{e_{i}(c)}, d = \prod_{i} p_i^{e_{i}(d)}

La descomposición en factores primos de

a, b, c, d

. Entonces

\frac{\prod_{i} p_i^{\max(e_{i}(a),e_{i}(c))}}{\prod_{i} p_i^{\min(e_{i}(b),e_{i}(d))}}

es una fracción que es común múltiplo de

\frac{a}{b}

\frac{c}{d}

y es el mínimo por las propiedades del m.c.m. y m.c.d. de dos enteros no negativos ya que

{\prod_{i} p_i^{\max(e_{i}(a),e_{i}(c))}}

es el m.c.m. de los numeradores y

{\prod_{i} p_i^{\min(e_{i}(b),e_{i}(d))}}

es el m.c.d. de los denominadores de manera que se puede concluir que

\operatorname{mcm}\left ( \frac{a}{b},\frac{c}{d} \right ) = \frac{\operatorname{mcm}(a,c)}{\operatorname{mcd}(b,d)}.

Análogamente o teniendo en cuenta que el producto de dos números es igual al de su m.c.m. por su m.c.d. obtenemos:

\operatorname{mcd} \left ( \frac{a}{b},\frac{c}{d} \right ) = \frac{\operatorname{mcd}(a,c)}{\operatorname{mcm}(b,d)}.

Las fórmulas anteriores son válidas para una cantidad finita de fracciones. Además el cociente del mcm entre cada fracción es un entero y el conjunto de los cocientes forman un sistema de primos entre sí. De igual manera, el cociente de cada fracción entre el mcd es entero, los cocientes son primos entre sí⁹

De manera más general, concepto de m.c.m. tiene sentido en cualquier dominio entero. Mayor uso se da en el conjunto de los enteros, polinomios en una variable, enteros gaussianos¹⁰

MATEMATICAS 3 ESO

martes, 1 de marzo de 2016

MÍNIMO COMÚN MULTIPLO